二次规划

一个有n个变数与m个限制的二次规划问题可以用以下的形式描述。首先给定：

一个n 维的向量 c

一个n × n 维的对称矩阵Q

一个m × n 维的矩阵A

一个m 维的向量 b

则此二次规划问题的目标即是在限制条件为

的条件下，找一个n 维的向量 x ，使得

为最小。其中是的转置。

根据不同的参数特性，可以得到对问题不同的结论

如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。

如果Q是正定矩阵，那么全局最小值就是唯一的。

如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。

如果有至少一个向量x满足约束而且f(x)在可行域有下界，二次规划问题就有一个全局最小值x。

根据优化理论，一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件（KKT）。当f(x)是凸函数时，KKT条件也是充分条件。

当二次规划问题只有等式约束时，二次规划可以用线性方程求解。否则的话，常用的二次规划解法有：内点法(interior point)、active set和共轭梯度法等。凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。

每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。我们以正定矩阵Q为例：

对偶问题，可定义为

我们可用:得到的极小

,

对偶函数：

对偶问题为：

maximize :

subject to :

当Q正定时，用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时，二次规划问题是NP困难的（NP-Hard）。即使Q只存在一个负特征值时，二次规划问题也是NP困难的。