套利定价理论

套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。

套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

因素模型是一种统计模型。套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。

线性多因素模型的一般表达为:

(1)r=a+B*F+ ε

其中:

r代表N种资产收益率组成的列向量.

F代表K种因素组成的列向量

a是常数组成列向量

B是因素j对风险资产收益率的影响程度,称为灵敏度(sensitivity)/因素负荷(factor loading). 组成灵敏度矩阵.

ε是随机误差列组成的列向量.并要求:

(2)

定义：对于一个有N个资产,K种因素的市场,如果存在一个证券组合,使得该证券组合对某个因素有着单位灵敏度,而对其他因素有着零灵敏度. 那么该证券组合被称为纯因素证券组合.

rf是无风险收益率,λ每单位灵敏度的某因素的预期收益溢价.

纯因素证券组合不只一种，那么这些不同的证券组合，是否会产生同样的期望收益呢？答案是肯定的，这就涉及到无套利均衡。

二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）

套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一.

定义: 套利机会(Arbitrage Opportunity)

存在一个交易策略,满足以下4个条件:

1)不需要任何投入,自我融资(self-financing)

lwA= 0　(7)

2)对所有因素风险完全免疫

BwA= 0　(8)

3)对所有非因素风险完全免疫

4)当资产数目足够多时,期末可以获得无风险收益

无套利原理:在市场均衡时刻，不存在任何套利机会.

无套利原理已经成为了现代金融学的基本假设,今后的微观金融学笔记将会反复讨论这个概念.

1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论(APT理论)。套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。

与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：

1.投资者有相同的投资理念；

2.投资者是非满足的，并且要效用最大化；

3.市场是完全的。

与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论没有以下假设：

1.单一投资期；

2.不存在税收；

3.投资者能以无风险利率自由借贷；

4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。

套利定价理论的基本机制是：在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。APT作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。套利定价理论是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。

假设有三种证券,它们都服从单因素模型,因素是F。它们的期望收益率和关于因素F 的敏感度bi都列在表中:投资者总资产是1500 万元,三种证券的组合p

即每一种证券都投资500 万元。这一组合未必是一个最优的组合。

投资者对上述组合p 作改变,记Δxi是投资于证券si的比例的改变量,亦即改变后的组合是:

并且Δx1, Δx2, Δx3必须满足下列要求,亦即满足下列套利原理:

(1) Δx1+ Δx2+ Δx3= 0 ,这表示投资者总投资额不变,既没有增加投资的总资金,也没有从原有投资总额中抽回部分资金。

(2)b1Δx1+b2Δx2+b3Δx3= 0 ,这表示改变后的组合P′的因素风险不变,它与组合p 的因素风险相同。

(3) ,这表示由于这一改变会增加期望收益率,或者说改变后的组合p′的期望收益率高于原来的期望收益率 ,我们称上述组合(Δx1,Δx2,Δx3) 是套利组合,投资者能够利用这一组合进行套利。

由上面的(1) 和(2) ,需要解一个齐次方程组:

将左端含有Δx1的项移到右端：

将Δx1看作参数,解上述非齐次方程组得:

由此我们便得到下面的结论:若取Δx1> 0 ,那么Δx2> 0 ,Δx3< 0 ,这表明必须减少对证券3 的投资,增加对证券1 和证券2 的投资。再由(3) , Δx1,Δx2,Δx3还须满足:

= 9.75Δx1> 0

很显然Δx1必须大于0 ,这表示改变后的组合可多获得的期望收益率为9.75%Δx1,在不允许卖空证券的情形下,减少证券3 的投资,至多减少投资于证券3 的比例是0 ,这样我们又得到一个不等式:

即：

综上所述,

时增加的期望收益率最大,这时套利组合,

增加的期望收益率是:

9.75Δx1% = 1.86%

此结果表示,投资者如果改变原来的组合,

改变的量是套利组合(),

改变后的组合是,亦即改变后投资于证券1 和证券2的资金分别是:

(万元)

(万元)

投资于证券3 的资金为0 ,这样做的结果比原先的组合p 增加期望收益率1.86 % ,而因素风险不变,投资者套利成功。

在一个均衡的市场中套利现象不会发生,套利组合成为(0 ,0 ,0) ,或者套利一旦发生将会迅速消失,最后各个证券将在市场中找到自己的合适位置,在市场调节下,它的期望收益率既不会过高也不会过低,满足一个均衡状态下的方程式:

式中,rf是无风险利率,λ是因素F 的单位风险溢酬。该方程即是APT定价模型。

假设一:无摩擦的市场.

假设二:无操纵市场.

假设三: 无制度限制.

这些关于理想化资本市场的三个假定与资本资产定价模型中的要求是一致的.

假设四: 资产收益由因素模型决定.

假设五: 同质预期

假设六: 市场上存在无风险资产

假设七: 满足无套利原理

定理:(套利定价)假定风险资产收益满足上面的因素模型,并且不存在套利机会.则存在使得下式成立:

(11)

(12)

这里就不给具体证明,后面的笔记中将会提及更一般的资本资产定价理论.

证明思路:

试图构造一个套利组合.该组合自然首先要满足:

式(7),式(8),式(9)

再考虑式(10)对应的逆命题对应(就是无套利原理):

即

(13)

如果式(7),式(8),式(13)同时成立,表明当时:

l(列向量),B(K个列向量),a(列向量)都和wA正交.

根据线性代数里的结论我们知道:

a可以表示为[1　B]这(K+1)个列向量的线性组合.

即,当时,存在:

(14)

APT和CAPM

1．套利定价模型（APT）跟资本资产定价模型（CAPM）一样，是证券价格的均衡模型。

2. APT比CAPM需要更少的限制性的假设。

3. APT与CAPM的作用十分相似。它可以作为公平收益率，因此可用于资本预算、证券估价或投资业绩评估。并且，套利定价理论还可以说明两种风险之间更严格的区别：不可分散风险（系统风险）要求风险溢价形式的回报，而可分散风险则没有这样的回报要求。