卡尔·龙格

卡尔·龙格肖像卡尔·龙格(CarlRunge1856年8月30日－1927年1月2日）

1880 年，他得到柏林大学的数学博士，是著名德国数学家，被誉为“现代分析之父”的卡尔·魏尔施特拉斯的学生。1886 年，他成为在德国汉诺威的汉诺威莱布尼兹大学的教授。

他的兴趣包括数学，光谱学，大地测量学，与天体物理学。除了纯数学以外，他也从事很多涉及实验的工作。他跟海因里希·凯瑟一同研究各种元素的谱线，又将研究的结果应用在天体光谱学。

1904 年，因为哥廷根大学教授，菲利克斯·克莱因的主动邀请，他同意去那里教书。1925 年，他在哥廷根大学退休。

月球的龙格陨石坑(Runge crater) 是因他而命名的。

数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

龙格法的稳定区域对于一阶精度的欧拉公式有：

yi+1=yi+h*K1 　K1=f(xi,yi)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：

yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h,yi+h*K1)

依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(xi,yi)

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的，我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式。龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点，但仍需计算 在一些点上的值，如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次 的值，这给实际计算带来一定的复杂性，因此，多用来计算“表头”。

龙格现象在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。究其原因，是舍入误差造成的。

具体的情况可参考下列Mathematica程序：

n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2);

p =Transpose[{x, y}]; 　Clear[t];

f = LagrangeInterpolation[x, y, t];

Show[ 　Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}], 　ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]] 　]