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泊松求和公式

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公式的形式

是一个连续时间的信号，做无限次的周期复制之后，产生，可由此推导出泊松求和公式。

泊松求和公式陈述。其中。

推导泊松求和公式所需的先备公式

考虑狄拉克δ函数，制作一个由无限多根，且间隔为的周期函数。

其傅立叶转换为①②

证明①转换对

==。

证明②转换对

设为周期函数的傅立叶级数。

可表示为。

由傅立叶级数得:

。

因此，。

得到等式:，

经由适当的变数变换，以代换，以代换，得(因为n从负无限大到正无限大)

推导泊松求和公式

从对频域做取样寻找关系式

当时，得，

表示一个信号的在时域以为间隔做取样，在频域以为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有倍的关系。

从对时域做取样寻找关系式

当时，得，

表示一个信号的在时域以为间隔做取样，在频域以为间隔做取样，则两者的所有取样点的总和会有倍的关系。

综合上述，若时域取样间隔时，同样地，频域取样间隔时，得泊松求和公式。

周期信号的傅立叶转换

考虑一个周期为的周期信号，为的傅立叶转换，取出g(t)在区间的一个完整周期，亦即，是的傅立叶转换，其中是矩形函数。是的傅立叶级数。

则

得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。

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