和角公式

一般的最常用公式有:

正弦余弦记忆口诀：正余同余正，余余反正正。

五个字代表右边的公式，“同”和“反”则表明中间的符号与左边是否一样；其中第一个字也代表是余弦公式还是正弦公式。

法一：向量证明

在平面直角坐标系中，以x轴为始边，作角α，角β，分别记其终边单位向量为a,b，则a=(cosα, sinα),b=(cosβ, sinβ)

∵a·b=|a||b|cos<a,b>

且a·b=cosα·cosβ+sinα·sinβ

且|a|=|b|=1

∴cos<a,b>=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

用-β代替β，得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

由诱导公式6，得sin(α-β)=-cos[(α-β)+π/2]=-cos[(α+π/2)-β]

=-[cos(α+π/2)·cosβ+sin(α+π/2)·sinβ]

=-[-sinα·cosβ+cosα·sinβ]

=sinα·cosβ-cosα·sinβ

同理得 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)

同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

证毕

法二：几何证明

下图α，β标识有误，建议放大观看。其中∠AOB应为α，∠AOP应为β。

公式cos(α-β)=OM

=OB+CP

=|OA|cosα+|AP|sinα

=cosα·cosβ+sinα·sinβ

和角公式是三角函数的一个基本公式，其实际应用有以下几个方面：

1、其它三角公式的推导依据。

2、三角函数值的计算。

连同勾股定理，可以计算出各角度对应的函数值，是编制三角函数表的基本工具。