圆的一般方程

圆是最常见的、最简单的一种二次曲线。

在平面上到一定点(中心)有同一距离(半径)之点的轨迹叫做圆周，简称圆。

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如右图)。根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。结论如下：

当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：

圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：

设D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-R2；则方程变成：

任意一个圆的方程都可写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。^[2]

由圆的标准方程的左边展开，整理得，在这个方程中，如果令，则这个方程可以表示成。

可以证明，形如一般表示一个圆。

为此，将一般方程配方，得：

为此与标准方程比较，可断定：

(1)当D2+E2-4F>0时，一般方程表示一个以为圆心，为半径的圆。

(2)当D2+E2-4F=0时，一般方程仅表示一个点，叫做点圆(半径为零的圆)。

(3)当D2+E2-4F<0肘，没有一个点的坐标满足圆的一般方程，即一般方程不表示任何图形，叫做虚圆。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程式上的特点，便于区分曲线的形状。^[2]

求方程的轨迹。

解：这个方程的x2和y2项的系数都是1，并且没有xy项，它与圆的方程有相同的形式．我们把它配方，得：

即：

由此可知，原方程的轨迹是一个以点(1，-2)为圆心，4为半径的圆。^[3]