针对集合,集合
上的隶属函数是将集合
映射到单位实数区间
的函数。
集合上的隶属函数对应
集合中的模糊子集。对应模糊集合
的隶属函数一般会用
来表示。针对集合中的元素
,
的数值称为
对应模糊集合
的隶属度,表示符合模糊集合
的程度。0表示元素
不是模糊集合的元素,1表示元素
是模糊集合的元素,0到1之间的值表示此元素部分符合模糊集合。
有时会用一个更通用的定义,隶属函数的值可以是任意的固定代数或是数学结构中取值,一般会要求
至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0, 1]之间的隶属函数此时会称为[0, 1]-值隶属函数。
隶属函数的一个应用是在决策理论中的容度(capacity)。
在决策理论中,容度定义为函数,其定义域S是某个集合的子集,值域为
,函数
满足集合定义上的单调而且正规化(也就是
)。这是广义的机率量测,其中可数可加性的概率公理不一定要成立。容度用来表示某一事件可能性的量测,而特定结果下,其容度的期望值可以对容度作Choquet积分求得。