逆矩阵

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得

则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

（1）验证两个矩阵互为逆矩阵

按照矩阵的乘法满足：故A，B互为逆矩阵。

（2）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

证明：

若B,C都是A的逆矩阵，则有

所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的。

（3）判定简单的矩阵不可逆

如。假设有是A的逆矩阵，则有

比较其右下方一项：0≠1。^[1]

若矩阵A可逆，则 |A|≠0

若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1

则|A|≠0

1. 可逆矩阵一定是方阵。
2. 如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3. A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
4. 可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T(转置的逆等于逆的转置）
5. 若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
6. 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7. 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

1. 逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C
2. 假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3. 由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
4. 矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
5. 1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且

其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1

则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有（其中是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。

如求的逆矩阵A-1。

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A-1=

若n阶方阵A可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得

，在此式子两端同时右乘A-1得：

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。^[2]

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵^[3]。

如果矩阵可逆，则

注意：中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。A的伴随矩阵为，其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。