概率分布函数

概率分布函数是描述随机变量取值分布规律的数学表示。对于任何实数x，事件[X<x]的概率当然是一个x的函数。令，显然有，称F(x)为随机变量X的分布函数。所以，分布函数F(x)完全决定了事件[a≤X≤b]的概率，或者说分布函数F(x)完整地描述了随机变量X的统计特性。

常见的离散型随机变量分布模型有“0-1分布”、二项式分布、泊松分布等；连续型随机变量分布模型有均匀分布、正态分布、瑞利分布等。

对于离散型随机变量，设为变量X的取值，而为对应上述取值的概率，则离散型随机变量X的概率分布为

且概率应满足条。因此，离散型随机变量X的概率分布函数为

对于连续型随机变量，设变量X取值于区间(a，b)，并假设其分布函数F(x)为单调增函数，且在间可微分及其导数F’(x)在此区间连续，则变量X落在x至区间内的概率为

为描述其概率分布规律，这时不可能用分布列表示，而是引入“概率分布密度函数”的新概念。定义概率分布函数F(x)的导数F’(x)为概率分布密度函数f(x)，即

于是连续型随机变量X的概率分布函数可写为常用的概率积分公式的形式：

这样，只要已知某一连续型随机变量X的概率分布密度函数f(x)，即可求得X落在某一区间内的概率：

与离散型随机变量的概率函数一样．对于分布密度函数，有

连续型随机变量的分布密度函数．以及与它对应的分布函数F(x)的图形分别如图1和图2所示。有时称f(x)的图形为分布曲线，而称F(x)的图形为累积分布曲线。^[1]

图1

图2

分布函数F(x)是一个普通函数。正是通过它才能用数学分析的方法来研究随机变量。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间的概率。

分布函数F(x)具有下述基本性质：

①F(x)为单凋非降函数：

②左连续；

③。^[1]

综上所述，概率分布函数是随机变量特性的表征，它决定了随机变量取值的分布规律，只要已知了概率分布函数，就可以算出随机变量落于某处的概率。^[2]