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默比乌斯函数

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定义

默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数：

μ(n)的首25个值（OEIS中的数列A008683）：1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0, ...

图1.μ的首50个值

μ(n) ——默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目。

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：

1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N；

2）μ(1)=1；

3）当n存在平方因子时，μ(n)=0；

4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1；

5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1。

莫比乌斯函数是一个数论函数，它是一个积性函数。

证明：

①当 n=1时显然；

②当n0时，将n分解可以得到；

在n的所有因子中，值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为r个的因子有个

那么显然有：

对任意正整数n有：

证明：

只需要令，代入莫比乌斯反演的公式即可

莫比乌斯函数的求和函数，被称为梅滕斯函数，

莫比乌斯函数有多个生成函数，其中一个与黎曼的ζ(s)有关：

以下是关于莫比乌斯函数的一些无穷级数：

1）

2）

3）

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