等价无穷小

等价无穷小(3)等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。若，则称和是等价无穷小量，记作。

例如：由于，故有。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件^[2]：

1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小等价替换定理^[3]

设函数，，，在内有定义，且有

(1)若，则；

(2)若，则。

证明：

(1)。

。

例如：利用等价无穷小量代换求极限

解：由于，

，，，

故有。

注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）^[2]。如在上例中：

若因有，，而推出，则得到的是错误的结果。

注：可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

需要满足一定条件才能替换的类型

若，则

（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）

变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

常见等价无穷小当时，

注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

α和β都是无穷小，且，存在（或）,则有

^[4]

数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限.其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是现在数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。