除以零

基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，个苹果平分给人，每人可得个苹果。同理，个苹果只分给人，则其可独得个苹果。

若除以又如何？若有颗苹果，无人来分，每“人”可得多少苹果？问题本身是无意义的，因根本无人来，论每“人”可得多少，根本多余。因此，，在基本算术中，是无意义或未下定义的。

另种解释是将除法理解为不断的减法。例如“除以”，换一种说法，减去两个，余下，即被除数一直减去除数直至余数数值低于除数，算式为余数。若某数除以零，就算不断减去零，余数也不可能小于除数，使得算式与无穷拉上关系，超出基本算术的范畴。此解释也有一问题，即为无穷大乘以零仍是零。

婆罗摩笈多（598–668年）的著作《Brahmasphutasiddhanta》被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩笈多，

830年，摩诃吠罗在其著作《Ganita Sara Samgraha》试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

婆什迦罗第二尝试解决此问题，设，虽然此定义有一定道理，但会导致一个悖论：的结果可以是任意一个数，那么就会得出所有的数都相同的错误结论。

安卓手机计算器除以0显示无限大

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即值是方程中的解（若有的话）。若设，方程可写成或直接。因此，方程没有解（当时），但是任何数值也可解此方程（当时）。在各自情况下均没有独一无二的数值，所以未能下定义。

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：由：

得出：

除以零得出

简化，得出：

以上谬论假设，就是某数除以0是容许的并且。另一个简洁的证明

通过上面的过程，能够证明一切数字等于。但是因为不能够除以（），所以这个毁灭数字的过程不正常。

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设，当中代表的虚构倒数。这样，若存在，则。若，则；参见广义逆。

倒数函数: y = 1/x.对除了0的每一x值，y即为其倒数

表面看来，可以藉着考虑随着趋向的极限而定义。对于任何正数，

而对于任何负数，

所以，对于正数，可被定义为，而对于负数则可定义为。不过，某数也可以由负数一方（左面）趋向零，这様，对于正数，定义为，对于负数，定义为。由此可得（假设实数的基本性质可应用在极限上）：

最终变成 ，与在扩展的实数轴上对极限赋予的标准定义不相符。唯一的办法是用没有正负号的无限，参见下面。

另外，利用极限的比无为提供解释：

并不存在，而

若随着趋向，与均趋向，该极限可等于任何实数或无限，或者根本不存在，视乎及是何函数（参阅洛必达法则）。由此，难以被定义为一极限。