复形

单纯复形(simplicial complex)亦称几何单纯复形，是单纯同调论中的一个基本概念，是用单形构造的并且按一定规则组成的图形，它是定义一类拓扑空间的工具。

下面用单形构造更复杂的图形——复形：

定义K是单形的有限集合。如果K满足

(1) 若是K的单形，则的任意面都属于K；

(2) K中所有有单形都规则相处(见下文“规则相处”的介绍)；

那么称K为单纯复形，简称复形。K中单形维数的最大值为K的维数，记作，K的零维单形称为K的顶点^[1]。

单纯复形的连通性(connectivity of simplicial complex)是拓扑空间的连通性在复形上的推广。若复形K不是两个非空不相交的子复形的并集，则称复形K是连通的。若L是复形K的连通子复形，并且L不是任何其他连通子复形的真子复形(实际上L是K的极大的连通子复形)，则称L为K的一个连通分支，复形K的连通性等价于下列各条件^[2]：

1.对于复形K中任意顶点a与b，存在K的一系列顶点，使得都是K的1维单形。

2.复形K的多面体是道路连通的。

3.复形K的多面体是连通的。

任意复形K都是有限个互不相交的连通分支的并，因此多面体是相同个数互不相交的连通分支的并，若单纯复形K是个连通分支的并集，则各维同调群有下列直和分解

对于零维同调群，当复形K是连通复形时，，这里Z是整数加群。而当复形K是r个连通分支的并集时，是r个整数加群Z的直和，即

设是Rn中的点，若具有线性关系，则说明这一组点占有最广的位置。当时就是一个点，自然此点占有最广位置^[1]。

设是Rn中占有最广位置的点，而，则我们称点的集合

为q维单纯形，简称q维单形，称为顶点，故常将记作，而系数称为此单纯形的重心坐标。

定义对于q维单形，称的()个顶点中的个点所构成的维单形为的一个r维面，的0维面就是顶点，把1维面称为棱。

例1考虑3维单形，对于点，就有，

例如，维面，为棱，为面，为体，如图1所示。

图1 3维单形(四面体)

当时，的点有个排列，它们决定同一个，这样的单形被称为无向单形，在排列中，有一半是偶置换，一半是奇置换，因而这两个置换等价类构成了两个定向，指定一个定向单形称为有向单形，简记“”=，这里指顶点次序为的有向单形；另一个定向单形记作“”=，以单纯形作为构件，可以组成单纯复合形、多面体和链。

如果或是一个公共面，则单形和是规则相处的，如图2所示，否则是不规则相处的，如图3所示。

图2 规则相处

图3 不规则相处

设W是Rn中有限个单形集合，如果W满足下列两个条件：

(1)如果，的任一面也属于W；

(2)W的任意两个单形和规则相处，

则称W为单纯复合形，简称为复形，如图4所示；否则是非复形，如图5所示^[3]。

图4 复形

图5 非复形

设W是一个n维复形，它的全体无向单形

都己任意地规定了一个定向，这里为W中q维单形的个数，这样，得到一组有向单形

上式称为W的有向单形的基本组。

设为n维复形W的一个基本组，对于，形式地定义

称为W的一个q维链。

1维链可看作是有向的折线^[3]。

如果把边界算子扩展到有向单形和复形上去，则有下面的链边界。

定义对于任意q维有向单形，我们定义()维链：

称之为的边界链或简称边界。式中表示缺这一点，也可以把扩展到W的q维链上去，定义W的任意q维链的边界为

由此可见，边界算子建立了链群到的一个同态^[3]：