逻辑代数

参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

正、负逻辑规定：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

逻辑代数的基本运算如下。

与（合取），记作 x∧y（有时记作 x AND y 或 Kxy），在 x = y = 1 情况下，满足 x∧y = 1；其他情况下 x∧y = 0。

或（析取）, 记作 x∨y（有时记作 x OR y 或 Axy），在 x = y = 0 情况下，满足 x∨y = 0；其他情况下 x∨y = 1。

非 （否定）, 记作 ¬x（有时记作 NOT x, Nx 或 !x），在 x = 1 情况下，满足 ¬x = 0；而在 ¬x = 1 情况下，x = 0。

如果把真值0和1解释为整数，这些运算可以表示为普通算数运算：

此外可以用制作真值表来表示 x∧y, x∨y 和 ¬x 的值：

0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0

有人可能会认为，只有否定和另外两种运算之一是基本的，因为用下列性质可以用逻辑否和逻辑或来定义逻辑与，反之亦然：

上述三个逻辑运算被称为基本的，这意味着其他逻辑运算可以以它们为基础，由他们的复合来建立，即将这些运算组合或结合。下面是由基本运算构成的运算的例子：

这些定义产生以下真值表，其中给出了对所有四个可能的输入，这些运算的值。

0	0	1	0	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

第一种运算，x → y 或 Cxy，叫做实质蕴涵。如果 x 为真，则 x → y 的值就取自 y 的值。但如果 x 为假，则 y 可以忽略；然而此运算必须返回某种真值，而且只有两种选择，所以返回蕴含较小的值，即真。（相干逻辑通过看作非真非假的假前提的蕴含来处理这件事。）

第二种运算，x ⊕ y 或 Jxy，叫做异或（通常缩写为XOR）与逻辑或的区别在于逻辑或包含其类型。它排除了 x 和 y 同时为真的情形。用算术来定义就是加和之后 mod 2，就如 1 + 1 = 0.

第三种运算，异或的互补运算，是同或或逻辑等价：x ≡ y 或 Exy，当 x 与 y 值相同时为真。因此作为其互补运算，x ⊕ y 可以理解为 x ≠ y，当 x 和 y 不同时为真。它对应的 mod 2 算术为 x + y + 1。

给定两个操作数，每个具有两个可能的值，共有 22 = 4 种可能的输入组合。由于每种输出有两种可能值，一共有 24 = 16种可能的二元逻辑运算。

两个主要的二元运算的符号定义为 (逻辑与)和 (逻辑或)，把单一的一元运算的符号定义为 (逻辑非)。我们还使用值 0 (逻辑假)和 1 (逻辑真)。逻辑代数有下列性质:

		结合律
		交换律
		吸收律
		分配律
		互补律
		幂等律
		有界律
		0 和 1 是互补的
		德·摩根定律
		对合律

任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。

设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'，这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等，则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。

当已知一个逻辑函数 F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。

逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。

逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。