弱哥德巴赫猜想

这个猜想被称为是“弱”的是因为如果哥德巴赫猜想成立，弱哥德巴赫猜想也成立———若任何一个大于4的偶数都是两个奇质数的和，由于将每个大于4的偶数加3就可以得到一个大于7的奇数，而3是一个奇质数，弱哥德巴赫猜想自然成立。

较早的关于这一猜想的特殊的或在一定条件下的研究成果如下：1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德证明若广义黎曼猜想成立，弱哥德巴赫猜想对所有足够大的奇数成立。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明哈代和李特尔伍德的结论可以在不依赖广义黎曼猜想的情况下直接得到证明。维诺格拉多夫原始的证明，由于使用了Siegel–Walfisz定理，无法给出“充分大”的下界。他的学生K. Borozdin在1956年证明3^3^15是充分大的。然而这一数字有6,846,169位，要验证比该数小的所有数是完全不可行的。^[4]

2002年，香港大学的廖明哲与王天泽把“充分大”的下限降至e^3100，即约2*10^1346。不过这仍然超出了计算机验证的范围（计算机仅对10^18以下的数验证过强哥德巴赫猜想，弱哥德巴赫猜想的验证范围比此略多）。不过这一下限已经足够小，使得比其小的单个奇数都可以用现有的素性测试来验证，如椭圆曲线素性测试已被用来验证多达26,643位数的素性。^[5]

1997年，德国数学家Deshouillers、瑞典数学家Effinger、荷兰数学家te Riele与英国数学家Zinoviev证明，在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。这一结果由两部分构成，其一是证明了大于10^20时弱哥德巴赫猜想成立，而小于此数的情况则由计算机验证得到。

法国数学家Olivier Ramaré于1995年证明，不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和，而Leszek Kaniecki则证明了在黎曼猜想成立的前提下，奇数都可表示为最多五个素数之和。^[6]2012年，澳大利亚数学家陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。^[7]

2012年到2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文^[1][2]，将这个下界降至了约10^30。贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。^[3]