笛卡儿卵形线

图1给定两定点F 、F'，假定P点与F、F'的距离分别为r1与r2，若满足方程：m*r1+n*r2=d，其中，m、n、d都是常数，则称P点的轨迹为笛卡尔卵形线。当m=n时，为椭圆。在一般情况下，笛卡儿卵形线是四次曲线，它包括两个没有共同点的闭曲线，而且一个在另一个之内。在内的一个类似于椭圆，在外的一个可能是凸的，也可能有拐点(如图1所示)。

笛卡儿(Descartes , R. )在《折光》里讨论了这个曲线和它的折光性质，他成功地解决了什么样的曲面作为两种介质的交界面时，能使从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上，折入第二种介质而聚于一点。他发现具有这个性质的旋转面是由笛卡儿卵形线产生的。

选取适当的m、n值，可使通过点A的光线经折射后，全部通过点B。笛卡尔曾利用这个光学性质，选取笛卡儿卵形线作为透镜的截面形状，用来消除球面像差。

设A，B是平面内两个定点，AB=2c（c是定长），平面内满足MA*MB=a^2(a是定长）的点M的轨迹称为卡西尼卵形线。卡西尼卵形线是由天文学家乔凡尼卡西尼提出的。其直角坐标方程为：

（1）当a=c时，卡西尼卵形线是双纽线；

（2）当a<c时，卡西尼卵形线是两支曲线，随着a值减小，分别向A、B收缩；

（3）当a>c时，不自交。

示例：

clear;clc

f=@(x,y,z)(x.^2 + (9/4)*y.^2 + z.^2 - 1).^3 - x.^2.*z.^3 - (9/80)*y.^2.*z.^3;

gd=80;

x=linspace(-3,3,gd);

y=linspace(-3,3,gd);

z=linspace(-3,3,gd);

[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);val=f(x,y,z);

[f,v]=isosurface(x,y,z,val,0);

newplot;

p=patch('Faces',f,'Vertices',v,'CData',v(:,3),'facecolor','w','EdgeColor','flat');

h=isonormals(x,y,z,val,p);view(3);set(p,'AmbientStrength',.5);grid on

图3示例如下，结果如图3所示。

pixels = W:1024 H:1024

x = from 0 to 1023 W

y = from 0 to 1023 H

a = 256

b = 512

c = 768

d = 512

u = sqrt((x - a)*(x - a) + (y - b)*(y - b))

v = sqrt((x - c)*(x - c) + (y - d)*(y - d))

m = 0.5

n =0.3

k = m*u + n*v

r = mod(k, 16)/16

g = mod(k, 32)/32

b = mod(k, 48)/48