笛卡尔乘积

易见笛卡儿积满足下列性质：

对于任意集合，根据定义有

一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。

笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

集合的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积。一个例子是二维平面，（这里是实数集） - 它包含所有的点，这里的和是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在个集合上的n-元笛卡儿积:

。

实际上，它可以被等同为。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间，这里的同样是指实数集。

对最常用的数学应用而言，上述定义通常已经足够。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。如果是任何指标集合，而

是由索引的集合的搜集，则我们定义

，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引上的值是的元素。

对在中每个，定义自

的函数

叫做第投影映射。

n-元组可以被看作在上的函数，它在上的值是这个元组的第个元素。所以，在是的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义给出的是集合族。

在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集的时候：这正是其中第i项对应于集合的所有无限序列的集合。再次，提供了这样的一个例子：

是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。

如果是从到的函数，而是从到的函数，则它们的笛卡儿积是从到的函数，带有

跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。