多元多项式

设K是一个数域，是几个文字(也可称为变量)，是非负整数，，称

为一个单项式(monomial)。某个指数表示变量不出现，当所有的指数全部等于0时，相应的单项式就是常数项，称为此单项式的系数，当≠0时，称为此单项式的次数，系数为0的单项式称为零单项式，简记为0，零单项式的次数规定为，为了表示方便，常常把单项式(1)中各个字母的方幂看成一个n维向量

称为这个单项式的指数向量。并把单项式(1)简记为，又把向量的分量之和表为，于是有(假设)

显然指数向量的分量都是非负整数，因此有两个单项式：

如果满足就被称为同类项，也就是说，与是同类项当且仅当它们的指数向量相等，即。^[1]

有限多个单项式之和(假设其中不含同类项)

称为n元多项式，简称多项式，n 元多项式中非零单项式的最高次数称为多项式的次数，记为。只含零单项式的多项式称为零多项式，记为0，零多项式的次数规定为，例如若

则。

有很多时候需要把多元多项式看成其中某一个变量，例如的一元多项式

这里的系数都是多项式环中的元素，我们把作为某个变量的一元多项式的次数称为关于的次数，记为。^[1]

和一元多项式一样，对于n元多项式也可同样地定义相等、相加、相减和相乘，例如当两个单项式是同类项时，可以通过系数相加而合并成一项：

两个单项式相乘则是把指数向量相加，再把系数相乘:

n元多项式的加法和乘法具有与一元多项式相同的性质，因此把数域K上所有以为变量的n元多项式的集合记为

并称为数域K上的n元多项式环。^[1]

现在我们要研究单项式的排序问题，对于一元多项式，按各个项的次数来排列是最自然的，但是对于多元多项式，有相同次数的项不止一个，单按次数排列具有不确定性，所以有必要采用字典排列法。为此首先在指数向量的集合内定义一个序：对于，如果存在使得

则称优于，记为，例如

从这个定义立即可以看出，对于任意两个不相等的指数向量，不是就是，两者必居其一。而且关系“”还具有传递性，即从与可以得出，这说明“”确实是指数向量集合的一个序，利用指数向量的序就可以定义单项式的序，即

我们把这个序(包括指数向量的序以及单项式的序)称为字典序(lexicographicorder)。这样就可以把多项式中的项按字典序排列，当n=1时这种排列法就是降幂排列法，多项式中按字典排列法次序最前的非零项称为此多项式的首项。^[1]

字典排列法的首项有以下性质。

两个非零多项式的乘积的首项等于这两个多项式的首项的乘积。

证明：设这两个多项式是，它们的乘积是．设的首项分别为

它们的乘积等于

乘积多项式h中的任意单项式的指数向量具有的形式，其中，分别是中的单项式的指数向量，因此有

我们要证，并且等号成立当且仅当。首先设若，则一定存在i≤n使得

于是

即。同理当时有因此

而且只要或有一个成立，就有这说明(2)式确是h的首项而且h中没有同类项会和它相消。^[1]

两个非零多项式的乘积仍是非零多项式。^[1]