初等代数

加法是一可交换的运算(两个数不论顺序为何，它加起来的总和都一样)。

减法是加法的逆运算。

减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的：

例子: 若 ，则 。

乘法是一可交换的运算。

除法是乘法的逆运算。

除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的：

幂不是一可交换的运算。

但幂却有两个逆运算：对数和分数指数的幂(如平方根)。

例如：若，则。若，则。

负数的平方根不存在于实数内。(参考：复数)

加法的结合律性质：。

乘法的结合律性质：。

对应加法的乘法分配律性质：。

对应乘法的幂分配律性质：。

幂的乘法：。

幂的幂：。

若且，则 (等于的传递律)。

(等于的自反性)。

若，则 (等于的对称性)。

若，则。

若且，则。

若，则对任一c，(等于的可加性)。

若且，则 = 。

若，则对任一c，(等于的可乘性)。

若两个符号相等，则一个总是能替换另一个(替换原理)。

若且，则 (不等式的传递律)。

若，则对任一c，。

若且，则。

若且，则。

最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如：

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了，等式的另一边即是此变量的值。例如，将上面式子两边同时减去4：

简化后即为

再同时除以2：

再简化后即为答案：

一般的情形

也可以依同样的方式得出答案来：

【这就是一元一次方程简单的说明】

一元二次方程可以表现成在这不等于零(假如等于零，则此方式为一次方程而非二次方程)。二次方程必须保持二次的形态，如 ，二次方程可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程)，或者一般地使用二次方程公式。因式分解的举例：

这相当于:

0和-3是它的解，因为把置为0或-3便使上述等式成立。所有二次方程在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如:

没有实数解，因为没有实数的平方是-1。有时一个二次方程会有2重根，例如：

在这个方程中，-1是2重根。

在线性方程组内，如两个变量的方程组内有两个方程的话，通常可以找出可同时满足两个方程的两个变量。

下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：

将第2个等式的左右项各乘以2，

再将两式相加，

上式可化简为

因为已知，于是就可以由两式中的任意一个推断出。所以这个问题的完整解为

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；也可以在之前求得。

另一种求解的方法为替代。

的等值可以由两个方程中的其中一种推出。我们使用第二个方程：

由方程的两边减去：

再乘上 -1：

将此值放入原方程组的第一个方程：

在方程的两端加上 2：

此可简化成

将此值代回两个方程中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。

注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的，也可以在之前求得。