抽象代数

抽象代数 　　抽象代数（Abstract algebra）又称 近世代数（Modern algebra），它产生于 十九世纪。
　　抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量( vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了 代数几何、代数数论、 代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
　　被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois 群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分 任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的 思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于 二十世纪 结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
　　1843年，Hamilton发明了一种 乘法交换律不成立的代数—— 四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。
　　1870年，Kronecker给出了有限 Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象 代数学。
　　有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获 博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了 有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接 微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究 交换代数与交换算术。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是 现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种 代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的 布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
　　1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的 bool代数； 第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。
　　到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，如其中最主要的Lie代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映

樊恽、刘宏伟编著的《抽象代数》是在作者多年从事高等院校数学系抽象代数教学的讲稿基础上编撰而成的，主要目的是为一般师范院校提供一本一学期的抽象代数课程教材。以操作性较强的方式组织编排了供一学期抽象代数课程使用的内容，同时把因限于课时而不能在课堂内容展开的，但却是基本的、有强烈背景的若干问题编排为选读选讲材料，使得本书除可操作性外还具有一定的可塑性。

第1章 集合
§1.1 集合
§1.2 关系
§1.3 映射
第2章 群
§2.1 半群，群
§2.2 n次对称群
§2.3 子群
§2.4 陪集
§2.5 商群
§2.6 群同态
§2.7 循环子群，元素的阶
§2.8 循环群
§2.9 交错群
第3章 环
§3.1 环
§3.2 同态，理想
§3.3 整环，域
§3.4 整环的分式域
§3.5 直和
§3.6 多项式环
§3.7 对称多项式
§3.8 整环的整除理论
第4章 域
§4.1 扩域的次数
§4.2 扩域的生成元
§4.3 单扩张
§4.4 直尺圆规作图
§4.5 代数基本定理
选读选讲材料
X1 集合的基数
X2 关于运算和广义结合律
X3 群与对称
X4 同态，同构
X5 交错群An，n≥5，是单群
X6 关于多项式环的两个问题
X7 因子分解整环
X8 整系数多项式环
X9 完备化简介
X10 四元数系
X11 模的基本概念
X12 模的和与直和
X13 自由模
X14 交换环上的矩阵
X15 主理想整环上的矩阵
X16 主理想整环上的模
名词索引