代数结构

代数结构指对于许多数学对象，如群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式.首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集，如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算;而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算;向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。

例如，群〈G，*〉是个数学结构.由集G，G×G到G的映射* (合成或代数运算)，并且适合

(a*b)*c=a*(b*c) 　a，b，c∈G

∃1∈G，1*a=a*1=a，a∈G

a∈G，∃a′∈G，a′*a=a* a′=1.

事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。

做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。

代数结构的例子包括组、环、字段和格。更复杂的结构可以通过引入多个操作、不同的底层集合或修改定义公理来定义。更复杂的代数结构的例子包括向量空间、模块和代数。群是有一个二元运算的代数结构;环和域都是有两个二元运算的代数结构;格是有两个二元运算的代数结构;布尔代数、集合代数、命题代数都是带两个二元运算和一个一元运算的代数结构.它们都(分别)适合特定的公理体系。

在抽象代数中研究了特定代数结构的性质。代数结构的一般理论已在通用代数中形式化。范畴理论的语言是用来表达和研究不同类别的代数和非代数对象之间的关系的。这是因为有时可能在某些类的对象之间找到强的连接，有时是不同的类的对象中。例如，Galois理论建立了某些域和群之间的联系：两种不同类型的代数结构。

数字上的加法和乘法是一种运算的典型例子，它将集合的两个元素结合起来产生第三个元素。这些操作服从几个代数定律。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(bc)=(ab)c，这两个例子都是关联律。还有a+b=b+a，ab=ba，交换律。许多由数学家研究的系统都有服从一些但不一定都是的普通算术法则的运算。例如，可以通过执行第一轮旋转来组合三维空间中的对象的旋转，然后将第二旋转应用于其新方向上的对象。这种旋转操作服从关联律，但可使交换律失效。

数学家们给出了一个具有一个或多个服从特定法律集合的操作的集合的名称，并将它们抽象地研究为代数结构。当一个新问题可以被证明遵循这些代数结构之一的规律时，过去在这类问题上所做的一切工作都可以应用于新的问题。

在完全通用的情况下，代数结构可能涉及任意数量的集合和操作，它们可以组合两个以上的元素(更高的arity)，但是本文着重于一到两组的二进制操作。这里的示例决不是一个完整的列表，但是它们是一个有代表性的列表，并且包含最常见的结构。更长的代数结构列表可以在外部链接和类中找到：代数结构。结构按复杂程度的近似顺序列出。

代数结构还可以与附加的非代数性质的结构共存，如偏序或拓扑。在某种意义上，附加的结构必须与代数结构兼容。^[2]

拓扑组：与群操作相一致的拓扑群。

李群：一个具有相容光滑流形结构的拓扑群。

有序群，有序环和有序域：局部有序的每一类结构。

阿基米德群：拥有阿基米德性质的线性有序群。

拓扑向量空间：其M具有相容拓扑的向量空间。

赋范向量空间：一个具有相容范数的向量空间。如果这样的空间是完备的(作为一个度量空间来说)，那么它就被称为一个Banach空间。

希尔伯特空间：在实值或复数上的内积空间，其内积产生了一个Banach空间结构。

冯·诺依曼代数：一个具有弱算子拓扑的希尔伯特空间上算子的代数。

代数结构是通过不同的公理构型来定义的。通用代数抽象地研究了这些对象。一种主要的二分法即分为：完全由自身定义的结构和不能完全由自身定义的结构。如果定义一类代数的所有公理都是恒等式，那么该对象的类具有一种多样性(代数几何意义上的代数多样性)。^[3]

群中有一个包含两个运算符的符号：乘法运算符m，带两个参数，逆运算符i，带一个参数，以及标识元素常量e（它可以被认为是一个零参数的运算符）。给定一个变量x、y、z等(数字)集，代数是所有可能的m，i，e和变量的集合，例如m(i(X)，m(x，m(y，e)是代数 ，定义一个群的公理之一是m(x，i(X)=e；另一个公理是m(x，e)=x。公理可以表示为树。这些方程在自由代数上推导出等价类，商代数则具有群的代数结构。

范畴理论是研究代数结构的另一种工具(例如，2003年的macLane)。范畴是具有关联态射的对象的集合。每一个代数结构都有自己的同态概念，即任何与定义结构的运算相容的函数。因此，每一个代数结构都会产生一个类别。例如，群的范畴是将所有组都作为对象，并且所有组同态都作为态射。这一具体范畴可以看作是一组具有附加范畴理论结构的集合范畴。同样，拓扑群的范畴(其态射是连续群同态)是一类具有额外结构的拓扑空间的范畴。^[4]

范畴理论相关概念如下：

代数范畴

本质代数范畴

呈现范畴

局部呈现范畴

一元函子和类别