Banach代数

定义1 设是一个线性空间，称是一个代数，若：对中任意两个元素，规定乘积，满足对和任意数a，有

（1）结合律 x(yz)=(xy)z；

（2）分配律 x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

（3）a(xy)=(ax)y=x(ay).

注：1）设是一个代数，如果存在，使得

就称是代数的一个单位元。

2）设是一个代数，如果，且按的线性运算及乘法仍是一个代数，则称是的一个子代数。

3）设是一个代数，当有单位元时，单位元必是唯一的。

4）设是一个有单位元的代数，且存在使得

其中e为的单位元，则称b为a的逆。^[1]

定义2 设是一个赋范线性空间，同时又是一个代数，而且

则称是一个赋范代数。^[1]

注：在赋范代数中，关于乘积范数的性质保证了乘法运算的连续性。实际上，当时，

定义3完备的赋范代数称为Banach代数。^[1]

例1 设X是赋范线性空间，则（由X到X的有界线性算子全体）是一个有单位元的赋范代数，X上的恒等算子I 即为其单位元。当X为Banach空间时，是Banach代数。^[1]

例2 设X是Banach空间，，

即是与A可交换的有界线性算子全体，显然，是B（X）的一个子代数，而且是闭的，因而也是一个Banach代数。^[1]

例3 设是紧拓扑空间，表示上连续函数全体，对，令

则是一个Banach代数。^[1]

对于有限维线性空间上的线性变换，特征值是一个十分重要的概念。这个概念拓广到一般的Banach代数中，就是元素的谱。（这里讨论的Banach代数是指复Banach代数。）

定义4 设是具有单位元的Banach代数，，为复数，如果存在，使得

即可逆，则称为x的正则点，称x的正则点全体为正则集，记作；称非正则点为x的谱点，称x的谱点全体为x的谱集，记作

定义5 设是具有单位元的Banach代数，，记

称为x的谱半径。^[1]

定理1 设是具有单位元的Banach代数，则中可逆元全体是开集，且映射

在可逆元集合上连续。

定理2 设是具有单位元的Banach代数，则当时，

且当时，

定理3 设是具有单位元的Banach代数，，则是开集。对，记

则当时，且

定理4 设是具有单位元的Banach代数，，则是闭集，且

定理5 设是具有单位元的Banach代数，，则谱半径

定理6 设是具有单位元的Banach代数，，则

定理7 设是Banach代数的闭子代数，、有相同的单位元，，则为开集。

注：定理1-7的证明见参考文献[1]的59-64页。^[1]