化圆为方问题

　　 化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前 古希腊 人提出的三大 几何作图问题之一，即求作一个 正方形，使其面积等于已知圆的面积。其难度 在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的 尺）和 圆规。最早研究这问题的是 安纳萨戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入狱，在狱中 潜心研究化圆为方问题，可惜他的结果失传了。以后著名的研究者更有 希波克拉底、 安提丰 、希皮亚斯等人。

　　标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一 成功。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出 线段π的问题。１８８２年法国数学家林 德曼（１８５２－１９３９）证明了π是 超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能 的问题。因为 十九世纪有人证明了若设任意给定 长度单位，则标尺可作的线段长必为 代数数 。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此标尺不可作。

化圆为方问题　　 二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前４３０）为解决此问题而提出的 「 穷竭法」，是近代 极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正６边形），然后每次 将边数加倍，得内接８、１６、３２、…边形，他相信「最后」的 正多边形必与 圆周重合， 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求 圆面积的近似方法，成为 阿基米 德计算 圆周率方法的先导，与中国 刘徽的 割圆术不谋而合，对穷竭法等 科学方法的建立产生 直接影响。

　　其实，若不受标尺的限制，化圆为方问题并非难事， 欧洲文艺复兴时代的大师芬兰数学家 达芬奇（１４５２－１５１９）用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的 矩形，其面积恰为圆的面积，如图。

　　所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２πｒ＝πｒ2 ，然后再将矩形化为等积的正方形即可。