李雅普诺夫指数

考虑两个系统

设其初始值微小误差为

经过一次迭代后有

其中

第二次迭代得到

········

经过第n次迭代得

可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数|df/dx|在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：

每次迭代平均分离值为

两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数

式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：

利用李雅普诺夫指数λ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间（迭代次数）作指数分离：

在一维映射中只有一个λ值，而在多位相空间情况下一般就有多个λ，而且沿着相空间的不同方向，λ值一般也不同。

设ε0为多维相空间中两点的初始距离，经过n次迭代以后两点间的距离为：

式中指数λi可正可负，当其为正时表示沿该方向扩展，为负数时表示沿 该方向收缩。在经过一段时间（数次迭代）以后，两个不同李雅普诺夫指数将使 相空间中原来的圆演变为椭圆。

稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则系统是不稳定的。系统只要有一个正值就会出现混沌运动。

判断一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。

在高维相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将更为复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到 高维空间后，有指数（λ1，λ2，λ3，···）的值决定的各种类型的 吸引子可以归纳为：