显函数

对于一个函数，如果已知自变量取某一值时，可以不必通过解方程即能求得因变量的对应值，这样的函数叫做显函数。^[1]或者说若y是x的函数，当直接给出y等于一个只含自变量和中间变量的解析式子时，此时y叫做自变量x的显函数。^[2]

显函数：一个函数如果能用形如的解析式表示，其中分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如等都是显函数。

隐函数：如果由方程可确定y是x的函数，即在某个范围内存在函数，使，由这种方式表示的函数是隐函数。^[3]

显函数：自变量与因变量已经明显分离的函数称为“显函数”，如等都是显函数。

隐函数：自变量与因变量没有明显分离或无法分离的函数称为“隐函数”(意思是这种函数的函数关系“隐藏”在方程之中)，如等都是隐函数，一元隐函数的一般形式是。^[4]

如果方程f(x,y)=0能确定y与x的对应关系，那么称这种表示方法表示的函数为隐函数。 隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。因此按照函数"设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的(显)函数，记作 y=f(x)"的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。 也就是说，函数都是方程，但方程却不一定是函数。显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y右边是x的表达式 比如y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。

显函数与隐函数的区别不是绝对的。有些隐函数可以化成显函数，如(R为常数)可以化成；有些隐函数如虽然也确定著x,y之间的函数关系，但y不能化为x的显函数。

若可导函数的导函数仍然可导，则称的导数为函数的二阶导数，记作，或，即

或

相应地，称为函数的一阶导数。

类似地，若仍然可导，则称的导数为函数的三阶导数，记作,或。

一般地，若函数的n-1阶导函数仍然可导，则称n-1阶导函数的导数为函数的n阶导数，记作．或，即

或

函数在点处的n阶导数值记作或。

函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数。^[5]