立方和公式

立方和：

a³+b³

=a³+a²b-a²b+b³

=a²（a+b）-b（a²-b²）

=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）
=（a+b）[a²-b（a-b）]

=（a+b）（a²-ab+b²）

立方差：

a3-b3

=a3-b3+a2b-a2b

=a2(a-b)+b(a2-b2)

=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)

=[a2+b(a+b)](a-b)

=(a-b)(a2+ab+b2)

(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)　和　a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)

(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³

立方和累加

正整数范围中

注：可用数学归纳法证明

我们知道：

0次方和的求和公式，即

1次方和的求和公式，即

2次方和的求和公式，即——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得^[2]。

具体如下：

(k+1)3- k3= (k3+ 3k2+ 3k + 1) - k3= 3k2+ 3k + 1

利用上面这个式子有：

23- 13= 3×12+ 3×1 + 1

33- 23= 3×22+ 3×2 + 1

43- 33= 3×32+ 3×3+ 1

53- 43= 3×42+ 3×4 + 1

……

(n+1)3- n3= 3×n2+ 3n + 1

把上述各等式左右分别相加 得到：

(n+1)3-13= 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1

n3+ 3n2+ 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)

其中12+ 22+ 32+ …… + n2= n(n+1)(2n+1)/6

代入(1)式，整理後得 13+ 23+ 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2

取公式：

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶

…………

…………(n).

于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有

左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

设数列{}=n(n+1)(n+2)，其n项和为，且设=+++…+，则

=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)

=

=

=+3+2

=+3×+2×

=++n(n+1)

又=1×（1+1）×(1+2)+2×（2+1）×(2+2)+…+n(n+1)（n+2）

=+++…+

=(+++…+)

=(+++…+)

=(+++…+)

=(++…+)

=…

=

=6

∴

由此得=。

图象化立方和公式透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为^[3]：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·

·

·

把三个部分加在一起，便得：

=

=

之后，把减去它，便得：公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=

可通过完全平方公式，得到：

=

=

这样便可证明：