二项展开式

其中，，又有等记法，称为二项式系数，此系数亦可表示为杨辉三角形。等式的右边即为的展开式，称为二项展开式。

将看成个相乘，从每个括号中取一项 (非即) 相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取的个数分为类 ，不取的是，取 1 个的是，...， 取个的是，...，取个的是

注意：^[1]

（1）选取性，二项式的两项怎样选取 (各取几个) 才能构成所求的项；

（2）有序性，的展 开式第项是取个(同时取个)， 这里的和不能互换

（3）项 、项的系数与二项式系数的区别

某项要把这一项全部写出来；某项的系数只写这一项的系数，不带字母 (即把每个字母当作数 1) ；某项的二项式系数就是相应的组合数

（1）项数：n+1项

（2）第k+1项的二项式系数是

（3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。

（4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。

（5）二项式通项：，是第项

这里，采用数学归纳法对二项式定理进行证明

当，

假设二项展开式在时成立，设，则：

（取出的项）

（设）

（ 取出项）

（两者相加）

（套用帕斯卡法则）

等式也成立

结论：对于任意自然数n，等式均成立。

求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有一定的题出现。^[1]

例1. 求的展开式中的系数

解：要取2个，故的系数是

例2. 求的展开式中的系数

解：要取4个，故的系数是

例. 求展开式中系数最大项和最小项^[2]

解：

通项=

通项的系数=

设系数最大，则

解得：，因为，所以，故系数最大项为和

由于最大项在中间取得，所以最小项在两端，计算得：，故系数最小项为

求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行。^[3]

例.展开式中的常数项

解：展开式的通项=，令，解得

故常数项为：