共轭双曲线

如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴(都指线段)，则两条双曲线叫作共轭的。当两条双曲线共轭时，每条双曲线都叫作另一条双曲线的共轭双曲线(图1)。^[2]

图1

定理双曲线和是共轭的(这两个方程等号的左端完全一样，右端的常数项一个是1，一个是一1)，也就是实轴与虚轴互换的双曲线。

推论双曲线和(这里A,C异号,)共轭。

共轭双曲线除具有定义中所说的关系以外，还有以下的简单关系：

(1)两条共轭双曲线的四个焦点与它们的共同中心等距离，即互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上，这个圆叫做双曲线的辅助圆。^[3]

(2)两条共轭双曲线有共同的渐近线，相同的焦距，但焦点不一样。

(3)互为共轭的双曲线的两个离心率的倒数平方和为1。^[4]

这是因为两条共轭双曲线和的渐近线都是，即都是和。

考察方程，，。

前后两个是共轭双曲线的方程，中间是它们的共同渐近线的方程，这三个方程的等号左端完全一样，而等号右端的常数项恰成等差数列。^[2]

例1已知双曲线的中心在原点，焦点在一条坐标轴上，它的一条渐近线为，并且双曲线通过点，求这双曲线的方程。^[2]

解:因双曲线的中心在原点，并且焦点在一条坐标轴上，所以双曲线的两条渐近线关于坐标轴对称，因此另一条渐近线为，所以两条渐近线的方程为

即

因此双曲线的方程应该是

由于这条双曲线通过点，所以有

从而，所以双曲线的方程为

例2设一条直线和一条双曲线及其两条渐近线都相交，求证：这条直线夹在双曲线及其渐近线之间的两条线段(图2中的AB与CD)相等。^[2]

证明:设双曲线的方程为

那么，它的渐近线的方程为

设割线的方程为

则方程组

的解是交点B，C的坐标．把代入，得

这个二次方程的两个根和分别为B和C的横坐标，而

于是线段BC的中点的横坐标

线段BC的中点的纵坐标

要求A，D的坐标，应解方程组

很明显，消去后所得的二次方程的二次项和一次项与相同，因此它的两个根的和，即A，D的横坐标的和与B，C的横坐标的和相等，从而线段AD的中点的横坐标与线段BC的中点的横坐标相等，因而线段AD的中点的纵坐标与线段BC的中点的纵坐标也相等。这样，线段AD的中点与线段BC的中点实际上是同一个点，所以线段AB等于线段CD。

当割线与双曲线的实对称轴垂直时，由双曲线及其渐近线的对称性可知也有。

说明;若移动割线，变为双曲线的切线时，由本例可知，这切线夹在两渐近线间的线段被切点二等分(图3)。^[2]

图2

图3