给定集合A,二元函数F: A×A→A称为集合A上的二元运算。给定集合A中两个元素a,b,则按顺序通常写为aFb。更多时候,二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。
可以看出,“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设:
是集合
上的二元运算,
,则:
称为
在
下的左幺元,若
满足:
;
称为
在
下的右幺元,若
满足:
;
称为
在
下的幺元,若
满足:i既是
在二元运算
下的左幺元,又是
在二元运算
下的右幺元。
设:
是集合
上的二元运算,
,
是
在
下的幺元。则:
称是
在
下的左逆元,若
满足:
。
称是
在
下的右逆元,若
满足:
。
称是
在
下的逆元,若
满足:a既是
在
下的左逆元,又是
在
下的右逆元。(显然此时b也是a的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素a的逆元通常记为
。
设:
是集合
上的二元运算,
,则:
称z为在
下的左零元,若
满足:
;
称z为在
下的右零元,若
满足:
;
称z为在
下的零元,若
满足:z既是
在
下的左零元,又是
在
下的右零元。
设:
是集合
上的二元运算,
且
,
是
在
下的零元。则:
称是
中在
下的左零因子,若
满足:
,使
。
称是
中在
下的右零因子,若
满足:
,使
。
称为
在
下的零因子,若
满足:a既是
在
下的左零因子,又是
在
下的右零因子。
设:
是集合
上的二元运算,则:称
满足交换律,若
满足:
;
设:
是集合
上的二元运算,则:称
满足结合律,若
满足:
;
设:
是集合
上的二元运算,则:称
满足幂等律,若
满足:
;
设:
是集合
上的二元运算,i是
在
下的幺元,则:称
满足幂幺律,若
满足:
(显然此时每个元素都是它自己的逆元);
设:
是集合
上的二元运算,z是
在
下的零元,则:称
满足幂零律,若
满足:
,有(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);
设:
和
:
是集合
上的两个二元运算,则:
称对
满足左分配律,若
,
满足:
,有
;
称对
满足右分配律,若
,
满足:
,有
;
称对
满足分配律,若
对
满足左分配律以及右分配律;