- 二元运算
二元运算
定义
给定集合A，二元函数F: A×A→A称为集合A上的二元运算。给定集合A中两个元素a，b，则按顺序通常写为aFb。更多时候，二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。
可以看出，“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。
常用性质和术语
关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：
幺元
设
: 
是集合
上的二元运算，
，则：
称
为
在
下的左幺元，若
满足：
；
称为
在
下的右幺元，若满足：
；
称为在下的幺元，若满足：i既是在二元运算
下的左幺元，又是在二元运算下的右幺元。
逆元
设: 
是集合
上的二元运算，
,
是在下的幺元。则：
称
是
在下的左逆元，若
满足：
。
称是在下的右逆元，若
满足：
。
称
是
在下的逆元，若满足：a既是
在下的左逆元，又是在下的右逆元。（显然此时b也是a的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素a的逆元通常记为
。
零元
设: 
是集合上的二元运算，
，则：
称z为在下的左零元，若
满足：
；
称z为在下的右零元，若
满足：
；
称z为在下的零元，若满足：z既是在下的左零元，又是在下的右零元。
零因子
设: 是集合上的二元运算，
且
,是在下的零元。则：
称是中在下的左零因子，若
满足：
，使
。
称
是中在下的右零因子，若满足：，使
。
称为在下的零因子，若满足：a既是在下的左零因子，又是在下的右零因子。
交换律
设: 是集合上的二元运算，则：称满足交换律，若满足：
；
结合律
设: 
是集合上的二元运算，则：称满足结合律，若满足：
；
幂等律
设: 是集合上的二元运算，则：称满足幂等律，若满足：
；
幂幺律
设: 是集合上的二元运算，i是在下的幺元，则：称满足幂幺律，若满足：
（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；
幂零律
设: 是集合上的二元运算，z是在下的零元，则：称满足幂零律，若满足：
，有（显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）；
分配律
设: 和
: 是集合上的两个二元运算，则：
称对
满足左分配律，若， 满足：
，有
；
称对 满足右分配律，若， 满足：
，有
；
称对 满足分配律，若对 满足左分配律以及右分配律；
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