二元运算

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定义

给定集合A,二元函数F: A×A→A称为集合A上的二元运算。给定集合A中两个元素a,b,则按顺序通常写为aFb。更多时候,二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出,“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

幺元

: 是集合上的二元运算,,则:

下的左幺元,若满足:

下的右幺元,若满足:

下的幺元,若满足:i既是在二元运算下的左幺元,又是在二元运算下的右幺元。

逆元

: 是集合上的二元运算,,下的幺元。则:

下的左逆元,若满足:

下的右逆元,若满足:

下的逆元,若满足:a既是下的左逆元,又是下的右逆元。(显然此时b也是a的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素a的逆元通常记为

零元

: 是集合上的二元运算,,则:

称z为下的左零元,若满足:

称z为下的右零元,若满足:

称z为下的零元,若满足:z既是下的左零元,又是下的右零元。

零因子

: 是集合上的二元运算,,下的零元。则:

中在下的左零因子,若满足:,使

中在下的右零因子,若满足:,使

下的零因子,若满足:a既是下的左零因子,又是下的右零因子。

交换律

: 是集合上的二元运算,则:称满足交换律,若满足:

结合律

: 是集合上的二元运算,则:称满足结合律,若满足:

幂等律

: 是集合上的二元运算,则:称满足幂等律,若满足:

幂幺律

: 是集合上的二元运算,i是下的幺元,则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

: 是集合上的二元运算,z是下的零元,则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);

分配律

:  : 是集合上的两个二元运算,则:

满足左分配律,若 满足:,有

满足右分配律,若 满足:,有

满足分配律,若 满足左分配律以及右分配律;

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