勾股数组

中文名勾股数组

实施对象三角形

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定义

一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a，b的平方和等于c的平方，那么数组（a，b，c）称为勾股数组。勾股数组是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。

常数

（3n、4n、5n）（n是正整数）（这是最著名的一组！俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。）（5n、12n、13n）（n是正整数）
（6、8、10）
（7、24、25）
（8、15、17）
（9、40、41）
（10、24、26）
（11、60、61）
（12、16、20）
（12、35、37）
（13、84、85）
（15、20、25）
（15、112、113）
（17、144、145）
（18、24、30）
(19、180、181)
（20、21、29）
（20、99、101）
（48、55、73）
（60、91、109）

求法

(其实a，+，-,就是一组万能的有理数勾股方程，凡是一组勾股数，后面都可以加n的）

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分必要条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)，求证：∠C=90°。

此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：（6、8、10），（8、15、17），（10、24、26）等。

再来看下面这些勾股数：（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25）、（9、40、41），（11、60、61）…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

另外我们还可以通过理论得出推算公式为

a=m2-n2, b=2mn，c=m2+n2，

此处不作讨论。