凹函数

如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数，且对这一区间中的任何两点X1、X2，当X1<X2时，有不等式其中q1、q2为正数，q1+q2=1，这时，我们把函数f(x)叫做凹函数，或叫做下凸函数。

如果把上述条件中的“≥”改成“>”，则叫做严格凹函数，或叫做严格下凸函数。

如果y=f(x)是(严格)凹函数，那么它的图象是(严格)凹曲线，或叫做(严格)下凸曲线。

凹函数的概念是詹森(J.L.w.v.Jermen，1859～1925)引入的，他所采取的定义条件是

相当于上述定义中的特殊情况形。这种定义对于连续函数来说是等价的。

如果f(x)是凹函数，那么-f(x)即是凸函数，通常都是把凹函数转化为凸函数来研究。

如果一元实函数f(x)在某区间二阶可导，那么这一函数为凹函数的充要条件是在这一区间上恒有f‘’(x)≥0(对于严格凹函数，只要改成f‘’(x)>0就可以了)。^[1]

与凸函数（下凸）对比，这里的凹函数（上凸）应有：如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凹函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。

在数学当中，凹函数是凸函数的相反。

凹函数(3)如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。

设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0；设x1<x2,0<a<1、证明：f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)；（即利用凹函数的充要条件来证明其定义。）

因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0；

则x1<ax1+(1-a)x2；

根据拉格朗日中值定理。

必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2；

使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)；

同理。

存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2；

使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)；

故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)]；

根据拉格朗日中值定理。

有μ<δ<ξ；

f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)；

因f''(x)>0；

则f'(μ)- f'(ξ)<0；

则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0；

整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)；

同理，若f''(x)≤0，则结果相反 。

即若f''(x)≤0，则f[ax1+(1-a)x2]≥af(x1)+(1-a)f(x2)；满足凹函数的定义。

证明完毕；

注意：中国某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

线性函数是E^[2]