生成函数

生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。[请大牛补充解释]

最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”，书中对生成函数思想奠基人——Euler L在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展。生成函数的理论由此基本建立。

生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一，另外组合数学中的Catalan数也可以通过生成函数的方法得到。

另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

定义

对于任意数列a0,a1,a2...an 即用如下方法与一个函数联系起来：

则称G(x)是数列的生成函数(generating function)。

例子

比较典型的是：

生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如，这个函数f(n)=1 （n当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是（每一项都是一，即使n=0时也有x^[1]

（前两个分别是公比为2和5的几何级数，

第三个嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗）

=1/(1-x)^2 （约分，把一大半都约掉了）

（参见刚才对1/(1-x)^k的展开）

于是，拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数，完全使用代数手段得到了答案！

如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉，我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释。

是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是，。一步就得到了我们所需要的东西！不断地再求导数，我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论（自己试试吧）。生成函数还有很多其它的处理手段，比如等式两边同时乘以、除以常数（相当于等式右边每一项乘以、除以常数），等式两边同时乘以、除以一个x（相当于等式右边的系数“移一位”），以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。

我们用两种方法得到了这样一个公式：。这个公式非常有用，是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。

接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。

Fibonacci数列是这样一个递推数列：。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数：

等式两边同时乘以x，我们得到：

就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。

现在我们把前面的式子和后面的式子相加，我们得到：

把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。

我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题：我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果，我们不难得到这个问题的生成函数：

现在，我们需要把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我我们像刚才一样求出常数满足：

这个解太复杂了，我用Mathematica解了几分钟，打印出了起码几十KB的式子。虽然复杂，但我确实是得到了通项公式。你有兴趣的话可以尝试用Mathematica解决一下1/[(1-x)(1-x^3)] （只有1分和3分的硬币）。解c的值时可以用SolveAlways[]函数。你可以亲眼见到，一个四五行的充满虚数的式子最后总是得到正确的整数答案。^[2]