齐次函数

假设是域内的两个向量空间之间的函数。

我们说是“次齐次函数”，如果对于所有非零的和，都有：

即是，在欧几里得空间，，其中为指数函数。

线性函数是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的和，都有：

多线性函数是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的和都有：

从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间和之间的函数的阶弗雷歇导数是次齐次函数。

元单项式定义了齐次函数。

例如：

是10次齐次函数，因为：

。

齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

欧拉定理：假设函数是可导的，且是次齐次函数。那么：

。

这个结果证明如下。记，并把以下等式两端对求导：

利用复合函数求导法则，可得：

，

因此：

。

以上的方程可以用劈形算符写为：

，

当，定理即得证。

假设是可导的，且是阶齐次函数。则它的一阶偏导数是阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记，并把以下等式两端对求导：

利用复合函数求导法则，可得：

，

因此：

所以

.

对于以下的微分方程

其中和是同次数的齐次函数，利用变量代换，可以把它化为可分离变量的微分方程：

。