有效除子

除子(divisor)亦称韦伊除子，是研究代数簇的重要工具之一，指不可约簇X上余维数为1的不可约子簇的代数和。具体地，若D表示X中不含于X的奇异轨迹之中且余维数为1的不可约子簇的全体，表示以D为基的自由阿贝尔群，则中的元称为除子。设是一个除子，是不可约子簇，若所有的，则称A为有效除子，称为素除子。例如，若X是余维数1正则的(即X的所有一维局部环都是正则环)射影簇，A是X上的素除子，则是一个离散赋值环。若f是X上的非零有理函数，则对的赋值是个整数，且除了有限多个A之外，。因此，可以定义f的除子

这种除子称为主除子。若两个除子的差等于一个主除子，即则称D和D′是线性等价的。关于线性等价的商群称为X的除子类群，记为^[1]。

定义设是一个一维代数函数域，的任何一个离散赋值环称为一个素除子，由素除子全体所生成的自由Abel群称为的除子群，记作，其中的元素称为除子^[2]。

设按照一维函数域的定义，k在K中代数封闭，故是k上的超越元，因此K是的有限扩张，令即环在它的素理想的局部化，则A是的一个离散赋值环，它在K中只有有限多个扩张，这表明只有有限多个不等价的离散赋值v满足。

定义把中的素除子全体所组成的集合记作，对任何，记为P所对应的标准赋值．对于，除子称为一个主除子。主除子全体形成的一个子群，关于这个子群的商群称为的Picard群，记作，Picard群有时也叫做除子类群，记作属于同一个等价类里的两个除子称为是线性等价的，记为。

对任意它的剩余类域k'是k的有限扩张，记称为P的剩余类域指数。设其中，则定义为D在点P的阶，定义，又定义为D的次数，记作deg(D)。除子和分别叫做D的正的部分和负的部分。如果对每个成立，则称D为一个有效除子。若且是有效除子，则记，特别不等式相当于说D是有效除子。设，定义

设C是代数闭域k上的光滑射影曲线，则C的除子、Picard群Pic(C)等概念都定义为C的函数域K(C)的相应概念^[2]。