独立性

若两事件满足等式

则称事件A与B相互独立。^[1]

(1)概率为零的事件与任何事件相互独立；

(2) 当时，相互独立与互不相容不能同时成立，它们是完全不同的两个概念：相互独立是从概率的角度来考虑的，互不相容是从事件本身来考虑的。

定理1设是两事件。且，若相互独立。则，反之亦然。

定理2若事件A与B相互独立，则与，与，与也相互独立。

证明:这里只证明与相互独立。

由，得

所以与相互独立。^[1]

设为3个事件，如果满足等式

则称事件相互独立。

对个事件的独立性，可类似写出其定义。^[1]

一般地，设是个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，...，任意个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称相互独立。

设是个事件，若其中任意两个事件之间均相互独立，则称两两独立。

注：相互独立一定两两独立、两两独立不一定相互独立。

例题：如果将一枚硬币抛掷两次，观察正面H和反面T的出现情况，则此时样本空间为，令。

则

故有

由定义1知，任意两个事件都是相互独立的，但是

也就是说两两独立，并不相互独立。^[1]

若事件相互独立，则其中任意个事件也相互独立。

由独立性定义可直接推出性质1。 ’

若n个事件相互独立，则将中任意个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

从直观上看是显然的，对时，定理2已作证明，一般情况叮利用数学归纳法证之，此处略。^[1]

假设随机变量X、Y的相关系数存在。如果X和Y相互独立，那么X、Y不相关。反之，若X和Y不相关，X和Y却不一定相互独立。不相关只是就线性关系来说的，而相互独立是就一般关系而言的。^[2]

例1有两门高射炮独立地射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.8，乙炮击中敌机的概率为0.7，试求敌机被击中的概率。^[1]

解：设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，则A U B={敌机被击中}，由题意知，P(A)=0.8，P(B)=0.7，由于A，B相互独立。故

例2有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，并假设每批种子发芽与否是相互独立的，从两批种子中各随机地抽取一粒，求：

(1)两粒都能发芽的概率；

(2)至少有一粒种子能发芽的概率；

(3)恰好有一粒种子能发芽的概率。

解:设A={取自甲批种子中的某粒种子能发芽}，B={取自乙批种子中的某粒种子能发芽}，则所求的概率分别为：。

由于，且相互独立，故有：

例3甲、乙两人进行网球比赛。每局甲胜的概率为p，且．试问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。

解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为。

采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局(可能赛3局．也可能赛4局或5局)，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局。例如．共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”、且这三种结局互不相容，由独立性得甲最终获胜的概率为：

于是，。

当时，，即对甲来说采用五局三胜制较为有利；当时，即两种赛制甲、乙最终获胜的概率相同。^[1]

上面这个例子所涉及的随机试验只有两种可能的结果：甲胜或甲输，且试验在相同条件下可独立重复地进行，在每次试验中甲胜的概率都是相同的，具有这种特征的概型就是伯努利概型。^[1]