酉矩阵

若一行列的复数矩阵满足：

其中，为的共轭转置，为阶单位矩阵，则称为酉矩阵。^[1]

一个简单的充分必要判别准则是：

或者说，酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等。^[1]

酉矩阵的相关性质：

设有矩阵，则

（1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵；

（2）若是酉矩阵，则和也是酉矩阵；

（3）若是酉矩阵，则；

（4）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。

酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。^[1]

假定表示所有m×n复矩阵的集合，表示所有n阶复可逆矩阵的集合，表示所有m×n实矩阵的集合，，（表示纯虚数）。

定义1，设，若存在使，则称A为n阶P-广义酉矩阵；记为。

定理1，若相似于一个酉矩阵U，则A是n阶P-广义酉矩阵。

推论1，若相似于一个酉矩阵U，则与相似。

定理2，已知A可对角化，则A为n阶P-广义酉矩阵的充分必要条件是A相似于一个酉矩阵。

定理3，已知A是n阶P-广义酉矩阵。如果λ≠0是A的特征值，那么1/λ是的特征值；当A为实矩阵时，1/λ也是A的特征值。

定理4，若A为广义P-酉矩阵，则A是广义PH-酉矩阵。