伴随矩阵

设矩阵，将矩阵的元素所在的第i行第j列元素划去后，剩余的，各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。

方阵的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵：

该矩阵称为矩阵的伴随矩阵。

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下：

（1）可逆当且仅当可逆；

（2）如果可逆，则；

（3）对于的秩有：

（4）；

（5）；

（6）若可逆，则；

（7）；

（8）。

（1）当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以，，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为=,所以，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。

（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。

为n阶方阵，则称n阶方阵为的m重伴随矩阵，记为：，其中括号为m重。特别地，。