非空真子集

集合”一词与我们日常熟悉的“整体”、“一类”“一群”等词语的意义相近。例如，“数学书的全体”、“地球上人的全体”“所有文具的全体”等都可分别看成一些“对象”的集合。

我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象.一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

集合是数学中的一个基本概念，我们先说明下，例如，一个书柜中的书构成一个集合，一间教室里的学生构成一个集合，全体实数构成一个集合。一般的，所谓集合（简称“集”）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称”元“）。通常用大写字母表示集合，小写字母表示元素。比如a∈A，即元素a属于集合A。

子集是集合论的基本概念之一，指两个具有包含关系的集合中的被包含者。

定义1^[1]设A，B是两个集合，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B或B⊆A，读作“A含于B”或“B包含A”.

A是B的子集可用符号表述为

或

定义2^[1]若A是B的一个子集，并且集合B至少有一个元素不在集合A中，即AB且A≠B，则称A为B的真子集，同时称B为A的真扩集，记为AB或BA，读作“A真含于B”或“B真包含A”.

A是B的真子集可用符号表述为

或

例如，B={a、b、c、d、e}真包含A={a、b、c}，即A是B的一个真子集。^[1]

注：不含任何元素的集合称为空集，空集是任何集合的子集，且空集是任何非空子集的真子集。^[1]

定义3 若A是B的一个真子集，且A不是空集，则称A为B的非空真子集。^[1]

注：1.在一个集合的所有子集中，除空集和它本身之外的子集叫做非空真子集。

2.若A中有n个元素，则A有2^n个子集，（2^n-1）个真子集，（2^n-2）个非空真子集。

例如，{1，2}的子集有{1}，{2} ，{1，2}，∅，那么，它的非空真子集就是{1}，{2}。