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对称多项式

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例子

以上的多项式都对称。但是像的多项式就不对称，因为把和对换后，会得到，不等于原来的多项式。

基本对称多项式

对个不定元，有个元初等对称多项式，就是除首项外的各项系数。例如当，基本对称多项式为，和。

基本对称多项式是对称多项式的构成单元。所有元对称多项式，都可以用这个基本对称多项式以加法和乘法表示出来。更准确地说：

任何元对称多项式，都可以用这个以原来不定元组成的基本对称多项式，唯一地以多项式来表示。

例如当，有2个基本对称多项式和。第一个例子中的多项式可以写成

。

待定系数法

表达成基本对称多项式

设

与高次方程的性质

与等幂和的性质

以下用a表示对称多项式，s表示等幂和：

牛顿公式

证明如下：

组合公式

两项时使等幂和分解为积与和的组合，如：

用数学归纳法可证明高维的形式：

取

也可以把对称多项式表达成等幂和：

取

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