芝诺悖论

芝诺悖论：芝诺（古希腊哲学家）认为如果让乌龟先爬行一段路程后，再让阿基里斯（古希腊赛跑英雄）去追，那麽阿基里斯永远也追不上乌龟。

芝诺的理论依据是：阿基里斯在追上乌龟前，必须先到达乌龟的出发点，这时乌龟已向前爬行了一段路程，于是阿基里斯必须赶上这段路程，可是乌龟此时又向前爬行了一段距离，如此下去，虽然阿基里斯越来越接近乌龟， 但永远也追不上乌龟。

该结论显然是错误的，但从逻辑上讲这种推论没有矛盾。这就是著名的芝诺饽论。

这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。

速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。

常见的叙述为追着乌龟的阿基里斯，本悖论因此得其名。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

理论说得头头是道，但为何实际却不是如此？原因见下。

不妨令阿基里斯步行的速度为每秒10m，乌龟爬行的速度为每秒0.1m，并且在比赛之前，阿基里斯让乌龟先爬999m，在这种条件下，阿基里斯追赶乌龟所用的时间为：

999 ÷ 10 = 99.9秒 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒 · · · · · ·

这些数字，按其先后排列，可以构成一个无限序列：

99.9, 0.999, 0.00999, · · ·  其和為：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其实阿基里斯只要跑101秒，即可超越乌龟。
换个角度说，阿基里斯之所以追不上乌龟，原因在题目的背面－－小前提“由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。”已经限制了阿基里斯追赶的距离。
因此会得到无限的时间序列。

追乌龟亦涉及到极限是否存在的问题。譬如说，阿基里斯的速度改为10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。进行上述步骤后，总共所花的时间应表示为。

其一，关于极限这个无限过程的意义，涉及到实无限与潜无限（potential infinity）的讨论。潜无限的性质是无限过程无法完成，故上述级数虽然能无限逼近1，但不能说是等于1──故没有一个时间点（若有，必须是1）能代表乌龟被追上的时间。在潜无限的框架下，可以假设空间无法无限分割，如此一来此悖论就不存在了。但实无限的理论是，无限过程可以完成，即逼近的过程与其极限等价，故阿基里斯可以追上乌龟。现在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，关于要如何找到该无限过程的极限，欧拉曾提出“”之证明如下：

令

则

两式相减可得：

故

欧拉一生中曾多次在其理论中进行这类极限的运算，然而他未能解释极限的存在性与加减乘除等运算，可谓有着逻辑上的漏洞。而近代数学的极限、实数等概念正能填其逻辑漏洞。

但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态。

这个悖论的问题在于，“飞行”的运动，是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内，这支箭是否移动。

另外，中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。