拉普拉斯算子

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数 先作梯度运算（）后，再作散度运算（）的结果。因此如果 是二阶可微的实函数，则 的拉普拉斯算子定义为：

── (1)

的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 中的所有非混合二阶偏导数：

── (2)

作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把C^k函数映射到C^k-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：C^k(Rⁿ)→ C^k-2(Rⁿ)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C^k(Ω)→ C^k-2(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹：

其中x与y代表x-y平面上的笛卡儿坐标

另外极坐标的表示法为：

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

在参数方程为（其中以及）的维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

。

f是径向函数且g是球谐函数，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

。

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

。

因此：

。

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义为一个向量，这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯，即

．

更一般地，对没有坐标的向量，我们用下面的方式定义（受向量恒等式的启发）：

，也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”向量恒等式．

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。