不可数集

不可数集有许多等价的定义。一个集合X是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

不存在从X到自然数集合的单射函数。

X的基数既不是有限的，又不等于（阿列夫-0，自然数集合的基数）。

X的基数严格大于。

如果不可数集X是集合Y的子集，则Y是不可数集。

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合R；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。R的基数通常记为c、，或。

康托尔集是R的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（R的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果R的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维，那么它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从R到R的函数的集合。这个集合比R更“不可数”，因为它的基数是，它比还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为Ω或ω₁。Ω的基数记为。利用选择公理，可以证明是最小的不可数基数。于是，实数的基数，要么等于，要么严格比它大。康托尔是第一个提出是否等于的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。的陈述现在称为连续统假设，现已知道它独立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。