小波函数

小波一词由 Jean Morlet 和 Alex Grossman 在 1980年代 早期建立。他们用的是 法语 词ondelette - 意思就是"小波"。在英语里，后来将"onde"变为"wave"而成了wavelet。小波变换分成两个大类：离散小波变换 （DWT） 和 连续小波变换 （CWT）。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。小波理论和几个其他课题相关。

有小波变换可以视为 时域频域表示 的形式，所以和调和分析相关。所有实际有用的离散小波变换使用包含 有限脉冲响应滤波器的滤波器段（filterbank）。构成CWT块小波受海森堡的测不准原理制约，或者说，离散小波基可以在测不准原理的其他形式的上下文中考虑。

简单来说（技术上有错），母小波函数ψ（t）必须满足下列条件：

∫│ψ（t）│^2 dt=1（积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ<[L（R）]^2。

并单位化∫│ψ（t）│dt=∞（积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ<L（R）。

∫ψ（t）dt=0（积分区间负无穷到正无穷）。

多数情况下，需要要求ψ连续且有一个矩为0的大整数M，也即对所有整数m<M。

∫t^m·ψ（t）dt=0（积分区间负无穷到正无穷）。

这表示母小波必须非0且均值为0。

技术上来讲，母小波必须满足可采纳性条件以使某个分辨率的恒等成立。

母小波的一些例子：

【待添加】

母小波缩放（或称膨胀）a倍并平移b得到（根据Morlet的原始形式）：

ψa,b（t）=ψ[（t-b）/a]/a^0.5

这些函数常常被错误的称为变换的埠函数。实际上，没有基函数存在。时域频域解释要用一个稍有区别的表述（由Dlprat给出）。

小波变换经常和傅立叶变换做比较，在那里信号用正弦函数以及余弦函数的和表示。主要的区别是小波在时域和频域都是局部的而标准的傅立叶变换只在频域上是局部的。短时间傅立叶变换 （Short-time Fourier transform）（STFT）也是时域和频域的局部化处理，但有些频率和时间的分辨率问题，而小波通常通过 多分辨率分析 给出信号更好的表示。小波变换计算复杂度上也更小，只需要O（N）时间，而不是 快速傅立叶变换 的 O（N log N），N代表数据大小。

小波完全通过缩放滤波器g（一个低通有限脉冲响应 （FIR）长度为2N和为1的滤波器）来定义。在双正交小波的情况，分解堌重建的滤波器分别定义。高通滤波哒的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechie和Symlet小波。

小波有时域中的小波函数\psi （t） （即母小波）和缩放函数\phi （t）（也称为父小波）来定义。小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖一个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉小波变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。对于有紧支撑的小波，\phi （t）可以视为有限长，并等价于缩放滤波堨g. 例如Meyer小波

小波只有时域表示，作为小波函数\psi （t）. 例如墨西哥帽小波。

通常来讲，DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。小波变换被大量不同的应用领域所采纳，经常替代了傅立叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这样的转变，包括分子动力学 ， 重新计算 （ab initio calculations），天文物理学，密度矩阵局部化，地震地质物理学，光学 ，湍流 ，和量子力学。其他经历了这种变化的学科有图像处理 ，血压，心率和心电图分析， DNA 分析，蛋白质分析，气象学 ，通用信号处理 ，语言识别 ，计算机图形学 ，和多分形分析。小波的一个用途是数据压缩。和其他变换一样，小波变换可以用于原始数据（例如图像），然后将变换后的数据编码，得到有效的压缩。JPEG 2000是采用小波的图像标准。细节请参看小波压缩。

小波的发展和几条不同的思路相关@最早的是 Alfred Haar 在20世纪早期的工作。对小波理论有窠出贡献的有 Pierre Goupillaud,Alex Grossman 和 Jean Morlet 的表述，称为CWT（1982），Jan-Olov Strömberg 在离散小波上的早期工作（1983），英格丽·多贝西 （Ingrid Daubechies）的紧支撑正交小波（1988），Stephane Mallat 的多分辨率框架（1989），Nathalie Delprat CWT的时域频域解释 （1991），David E. Newland 的调和小波变换和之后的很多其他人㠂

时间线

- 第一个小波（Haar小波）由 Alfred Haar 给出 （1909年）

- 1950年代以来： Jean Morlet 和 Alex Grossman

- 1980年代以来： Yves Meyer,Stéphane Mallat，英格丽·多贝西 （Ingrid Daubechies）,Ronald Coifman,Victor Wickerhauser

小波变换

存在着大量的小波变换，每个适合丠同的应用。完整的列表参看 小波相关的变换列表 ，常见的如下：

-连续小波变换（CWT）

- 离散小波变换 （DWT）

- 快速小波变换（FWT）

- 小波包分解 （Wavelet packet decomposition） （WPD）

函数名 ；含义

Allnodes ；计算树结点

appcoef 提取一维小波变换低频系数

appcoef2 ；提取二 维小波分解低频系数

bestlevt ；计算完整最佳小波包树

besttree ；计算最佳（优）树

biorfill ；双正交样条小波滤波器组

biorwavf 双正交样条小波滤波器

centfrq ；求小波中心频率

cgauwavf Complex Gaussian小波

cmorwavf coiflets小波滤波器

cwt ；一维连续小波变换

dbaux Daubechies小波滤波器计算

dbwavf Daubechies小波滤波器 dbwavf（W） W='dbN' N=1,2,3,...,50

ddencmp 获取默认值阈值（软或硬）熵标准

depo2ind ；将深度-位置结点形式转化成索引结点形式

detcoef ；提取一维小波变换高频系数

detcoef2 ；提取二维小波分解高频系数

disp ；显示文本或矩阵

drawtree ；画小波包分解树（GUI）

dtree ；构造DTREE类

dwt 单尺度一维离散小波变换

dwt2 单尺度二维离散小波变换

dwtmode 离散小波变换拓展模式

dyaddown ；二元取样

dyadup ；二元插值

entrupd 更新小波包的熵值

fbspwavf B样条小波

gauswavf Gaussian小波

idwt 单尺度一维离散小波逆变换

idwt2 ；单尺度二维离散小波逆变换

ind2depo ；将索引结点形式转化成深度—位置结点形式

intwave 积分小波数

isnode ；判断结点是否存在

istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值

iswt 一维逆SWT（Stationary Wavelet Transform）变换

iswt2 ；二维逆SWT变换

leaves ；寻找终端结点

noleaves ；寻找非终端结点

mexihat 墨西哥帽小波

meyer Meyer小波

meyeraux Meyer小波辅助函数

morlet Morlet小波

nodease 计算上溯结点

nodedesc ；计算下溯结点（子结点）

nodejoin ；重组结点

nodepar 寻找父结点

nodesplt ；分割（分解）结点

ntnode ；返回终端结点个数

ntree ；构造树结构对象

orthfill ；正交小波滤波器组

plot 绘制向量或矩阵的图形

qmf ；镜像二次滤波器

rbiowavf ；通过设定双正交样条小波滤波器得到分解和重构的滤波器

read 读取二进制数据

readtree ；读取小波包分解树

scal2frq ；返回伪频率

shanwavf Shannon小波

swt ；一维SWT（Stationary Wavelet Transform）变换

swt2 二维SWT变换

symwavf Symlets小波滤波器

thselect ；信号消噪的阈值选择

treedpth ；求树的深度

treeord 求树结构的叉数

upcoef ；一维小波分解系数的直接重构

upcoef2 二维小波分解系数的直接重构

upwlev ；单尺度一维小波分解的重构

upwlev2 单尺度二维小波分解的重构

wavedec 单尺度一维小波分解

wavedec2 ；多尺度二维小波分解

wavedemo ；小波工具箱函数demo

wavefun 小波函数和尺度函数

wavefun2 ；二维小波函数和尺度函数

wavemenu ；小波工具箱函数menu图形界面调用函数

wavemngr ；小波管理函数

waverec 多尺度一维小波重构

waverec2 ；多尺度二维小波重构

wbmpen ；返回1-D或2-D小波降噪的全局阈值

wcodemat ；对矩阵进行量化编码

wdcbm ；返回阈值和系数个数（1-D小波降噪Birge-Massart策略）

wdcbm2 ；返回阈值和系数个数（2-D小波降噪Birge-Massart策略）

wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩

wdencmp 小波消噪或压缩

wentropy ；计算小波包的熵

wfilters ；小波滤波器

wkeep ；提取向量或矩阵中的一部分

wmaxlev 计算小波分解的最大尺度

wnoise ；产生含噪声的测试函数数据

wnoisest ；估计一维小波的系数的标准偏差

wp2wtree ；从小波包树中提取小波树

wpcoef ；计算小波包系数

wpcutree ；剪切小波包分解树

wpdec ；一维小波包的分解

wpdec2 ；二维小波包的分解

wpdencmp ；用小波包进行信号的消噪或压缩

wpfun ；小波包函数

wpjoin ；小波包重构

wprcoef 小波包分解系数的重构

wprec ；一维小波包分解的重构

wprec2 ；二维小波包分解的重构

wpsplt ；分割（分解）小波包

wpthcoef ；进行小波包分解系数的阈值处理

wpviewcf ；绘制小波包的颜色系数

wrcoef ；对一维小波系数进行单支重构

wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构

wrev 向量逆序

write ；向缓冲区内存写进数据

wthcoef 一维信号的小波系数阈值处理

wthcoef2 ；二维信号的小波系数阈值处理

wthresh 进行软阈值或硬阈值处理

wthrmngr ；阈值设置管理

wtreemgr ；管理树结构