公切线

公切线性质

1.两圆的两条外公切线长相等；

2.两条内公切线的长也相等。

3.两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。

两圆的外公切线如图1所示。

数量关系

外公切线的长=根号下圆心距的平方-大圆半径减小圆半径的平方=

内公切线的长=根号下圆心距的平方-大圆半径加小圆半径的平方=

外公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径减小圆半径；

内公切线与连心线夹角的正弦值=圆心距分之大圆半径加小圆半径。

位置关系

公切线的条数与两圆的位置关系如下：

若两圆相离，则有4条公切线；

若两圆外切，则有3条公切线（两外切，一内切）；

两圆相交，则有2条公切线（外切）；

若两圆内切，则有1条公切线；

若两圆内含，则有0条公切线。

尺规作图

方法一：平移法（如图2所示）

1. 取圆O1，圆O2上的半径O1A，O2B；
2. 以B为圆心，以O1A的长度为半径画圆交O2B于C；
3. 以为O1O2直径画圆D，以O2为圆心，O2C的长度为半径画圆，与圆D交与E；
4. 连接O2E并延长交圆O2于F；
5. 过O1作O1G||O2F交圆G，则直线GF即为所求。

图2 平移法

方法二：位似法（如图3所示）

1. 作圆O1的一条半径O1A，在圆O2中取一条与之平行的半径O2B；
2. 连接BA，O2O1并延长交于P；

3. 取PO1中点C，以C为圆心，CP长为半径画弧交圆O1于D，作直线PD，那么直线PD也与圆O1、圆O2相切。

   例题

   作外公切线

已知：圆O半径为R，O'半径为r（假设R>r），求作它们的外公切线。

作法：

1. 连接OO'，作出线段OO'的中点M；
2. 以M为圆心，MO为半径画圆；
3. 以O为圆心，R-r为半径画圆，与圆M的交点记作A、A'；
4. 作射线OA交圆O于Q，过O'作OQ的平行线，交圆O'于P；

5. 过P、Q作直线，直线PQ即为所求（如图4所示）。

图5 内公切线

作内公切线

连OO'，作出线段OO'的中点M；

以M为圆心，MO为半径画圆

以O为圆心，R+r为半径画圆，与圆M的交点记作A，A'；

作射线OA交圆O于Q，过O'作OQ的平行线，交圆O'于P；

过P、Q作直线，直线PQ即为所求（如图5所示）。