牛顿插值公式

牛顿插值公式（Newton interpolation formula）是代数插值方法的一种形式。牛顿插值引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。

设函数，已知其n+1个插值节点为，，我们定义：

在的零阶差商为；

在点与的一阶差商为

在点，，的二阶插商为

一般的，在点的k 阶差商为

可将k阶差商表示为函数值的组合：

先写出的各阶差商：

；

；

分别变形可得：

；

；

依次代入，可得牛顿插值公式：

可记为：

其中，为牛顿插值公式的余项或截断误差，当n趋于无穷大时为零。

取节点间距为h，可导出等间距牛顿插值公式。（以向前差分为例）^[1]

的n 阶向前差分公式为：

等间距牛顿插值公式：

下图为给定节点值利用牛顿插值拟合函数值得实例^[1]：

牛顿插值算例

牛顿插值作为一种常用的数值拟合方法，因其计算简单，方便进行大量插值点的计算，且逻辑清楚，便于编程计算，在实验分析中具有广泛的应用。

特别是实验中经常出现只能测量得到离散数据点的情况，或者只能用数值解表示某对应关系之时，可以使用牛顿插值公式，对离散点进行拟合，得到较为准确的函数解析值。