阿基米德性

简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：

1. 给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。

   给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数、，如果，则存在自然数，有

实数的完备性蕴含了阿基米德性，证明利用了反证法：

假设对所有，（注意表示个相加），令，则为的上界（上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为），于是有

得出也是的一个上界，这与是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的。