重言式

给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为T（True），则称该命题公式为重言式或永真公式。^[1]

显然由联结词∨、∧、→和联结的重言式仍是重言式。

一个公式，如有某个解释I0, 在I0下该公式真值为真, 则称这公式是可满足的。P∨Q当取I0 = (T, F)即P = T, Q = F时便有P∨Q = T, 所以是可满足的。重言式当然是可满足的。

另一类公式是矛盾式（永假式或不可满足的）。如果一个公式，对于它的任一解释I下真值都是假，便称是矛盾式。如P∧P就是矛盾式。

不难看出这两类公式间有如下关系:

1. 公式A永真， 当且仅当永假。

2. 公式A可满足, 当且仅当非永真。

3. 不是可满足的公式必永假。

4. 不是永假的公式必可满足。

永真式与永假式互为否定式

定理1： 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。^[1]

定理2：一个重言式，对同一分量都用任何公式置换，其结果仍为一重言式。

定理3：设A,B为两个命题公式，A和B逻辑等价当且仅当双条件命题“A当且仅当B”成立。^[1]

定理4：设A,B,C为合式公式，若A蕴含B且A是重言式，则B也是重言式。

定理5：若A蕴含B，B蕴含C，则A蕴含C，即蕴含关系是传递的。^[1]

在布尔代数中发现重言式的最简单的方法是使用真值表。但是，随着涉及到的变量的数目的增长，真值表的大小成 2 的幂次增长，这使它不利于四个或更多变量的重言式，这时简化和代数变得更有用。

在对命题逻辑代数化表示的基础上,通过解多项式方程组,对命题公式进行等价变换、演绎推理。用有理数域上的多项式组替代命题公式,利用纯代数的方法给出命题公式的重言式和矛盾式的证明。

A是一个公式, 对A使用代入规则得公式B，若A是重言式，则B也是重言式。

为保证重言式经代入规则仍得到保持，要求:

1. 公式中被代换的只能是命题变元（原子命题）,，而不能是复合命题。

2. 对公式中某命题变项施以代入，必须对该公式中出现的所有同一命题变项代换同一公式。

• “1+1=2”
• “所有的三角形都有三个边。”
• “四足动物就是有四只脚的动物。”
• “所有的单身汉都没有结婚。”（单身汉之定义即是：尚未结婚的男人）
• “小明很受女孩子欢迎，因为他有女性缘。”（女性缘的意思即是受女生欢迎，因为小明受女生欢迎，才被人们认为有女性缘）
• “西湖的水里要么有鱼要么没有鱼。”
• “要发生的终究是要发生的。”

(p^(p->q))->q，证明其为重言式，利用真值表证明如下：^[2]

最后一列真值永为1，即说明此命题公式为重言式。