二次不等式

当不等式两端是含有n个(n是自然数)未知数的整式时，则根据整式的次数分别叫做n元一次不等式，n元二次不等式等等。例如，不等式是一元一次不等式，是一元二次不等式；而不等式则是二元二次不等式。^[1]二次不等式(quadratic inequality)是一种整式不等式，如果整式不等式的次数是2，则称为二次不等式，若二次不等式有n个未知数，则称为n元二次不等式。

定义：含有一个未知数，且的未知数的最高次数是二次的不等式叫作一元二次不等式。

一元二次不等式的解法：

(1)一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为。

若，一元二次不等式的解集为；

若，一元二次不等式的解集为；

若，解集为R。

(2)一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为。

若，一元二次不等式的解集为；

若，一元二次不等式的解集为；

若，一元二次不等式的解集为。^[2]

定义1一个二元二次方程表示一条圆锥曲线，为简便计，这里只研究具有标准形式(非退化)的圆锥曲线方程所对应的不等式表示的区域。

定义2平面上所有满足二元二次不等式(不全为零)的点的集合，叫作这个二元二次不等式表示的区域，这里“V”表示“>”，“<”，“≥”，“≤”四种中的一种。

定理1在曲线所划分的每个平面开区域内，多项式或者永远是正的，或者永远是负的。

定理2不等式表示椭圆的外部的开区域；不等式表示椭圆的内部的开区域（图1，图2）。

图1

图2

定义3设圆锥曲线方程c：

称含有焦点的区域为圆锥曲线的内域，不含焦点的区域为圆锥曲线的外域（证明过程请参考相应参考资料）。

定理3点和在(1)的同一区域(或不同区域)的充要条件是^[3]

定理4点在圆锥曲线的内域(或外域)的充要条件是

其中

推论：的解域是椭圆的内域(或外域)；

的解域是双曲线的内域(或外域)；

的解域是抛物线的内域(或外域)。