点到直线距离

一、总公式：

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（x0,y0），则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

二、引申公式：

公式①：设直线l1的方程为；直线l2的方程为

则 2条平行线之间的间距：

公式②：设直线l1的方程为；直线l2的方程为

则 2条直线的夹角

(1)理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离；

(2)了解两条平行直线的距离公式，并能推导的平方

过程与方法目标：

(1)通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；

(2)把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。

1. 定义法证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

二、函数法

证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：

当且仅当时取等号所以最小值就是

三、不等式法

证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：

当且仅当时取等号所以最小值就是

四、转化法

证：设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以

易得∠MPQ=（图2）或∠MPQ=（图3）

在两种情况下都有所以

五、三角形法

证：P作PM∥轴交于M，过点P作PN∥轴交于N（图4）

由解法三知；同理得

在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高

六、参数方程法

证：过点作直线交直线于点Q。(如图1)

由直线参数方程的几何意义知，将代入得

整理后得

当时，我们讨论与的倾斜角的关系：

当为锐角时（）有（图2）

当为钝角时（）有（图3）

得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得

七、向量法

证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：