秩-零化度定理

对一个元素在域F中的矩阵，有：

同样的，对于一个从F线性空间V射到F线性空间W的线性变换T：T:V→W，T的秩是它的象的维度，T的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：

也就是：实际上定理在更广的范围内也成立，因为V和F可以是无限维的。

证明

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设V是一个有限维线性空间，，对一个从V射到F的线性变换T，kerT是V的一个子空间。设 是 kerT的一组基（p≤n）。根据基扩充定理，可以被扩充为V的一组基：。 是一组线性无关的向量，设H是它们张成的子空间，那么V是 kerT与H的直和：

所以，按照直和的性质，有，并且，同时，，其中。考虑T限制在H上到 imT的线性变换：

下证是一个双射：

是一个单射，因为， 。 是一个满射，因为， ，而且 ，其中。 于是 ，其中，所以是一个满射。 于是是一个H到 imT的同构，所以

综上所述，即有：也就是：

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设是一个有限维线性空间，其维度。对一个从射到的线性变换，它的核是的一个子空间。设是的一组基。根据基扩充定理，可以被扩充为的一组基：。除了的个向量以外，另外的个向量是一组线性无关的向量。设是它们张成的子空间，那么是子空间与的直和：

所以，按照直和的性质，有，并且这两个子空间的交集为。同时，都可以写成的形式，其中。考虑限制在上到的线性变换：

下证是一个同构。首先由于是线性映射，所以是线性映射。只需证明它也是双射：

是一个单射，因为，。

是一个满射，因为，，使得，而且，其中。 于是，其中，所以是一个满射。

既然是一个到的同构，那么

综上所述，即有：

也就是：

正合列

秩-零化度定理是抽象代数中的同态基本定理在线性空间上的表现形式。如果用更现代的语言，定理可以表示为：如果

是线性空间中的一个短正合列，那么有：其中R表示 imT，U表示 kerT。 在有限维的情况下，上式可以作进一步推广。如果

是有限维线性空间中的一个正合列，那么有： 在有限维线性空间中，秩-零化度定理还可以用线性变换的指标（index）描述。线性变换的指标指的是，对于线性变换：

其中表示T的余核。正如 kerT表示方程线性无关的解的“个数”，表示使得方程有解而必须加于y的限制条件的个数。

这时秩-零化度定理表述为：可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到T的指标，而不必对T作深入研究。更深入的结果可以参见Atiyah–Singer指标定理（en:Atiyah-Singer index theorem）。Atiyah–Singer指标定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。